Langetermijneffecten: g-functies

In het vorige hoofdstuk hebben we het gehad over de kortetermijntemperatuureffecten en de boorgatweerstand. In dit hoofdstuk introduceren we het concept van g-functies en hoe deze kunnen worden gebruikt om de seizoens- en jaarlijkse variatie in de boorgatwandtemperatuur te verklaren.

Thermisch gedrag van boorvelden

In het vorige hoofdstuk werd onderscheid gemaakt tussen temperatuureffecten op korte termijn en temperatuureffecten op lange termijn in het boorgat. De korte termijn was in feite een vermogensprobleem, waarbij de effectieve thermische boorgatweerstand de relatie tussen de boorgatwandtemperatuur en de vloeistoftemperatuur uitdrukte. Hoe hoger het (piek)vermogen op het boorgat, hoe groter dit verschil werd, dat lineair evenredig is met de boorgatweerstand.

Vandaag ligt de focus op het energiebeheer van het boorveld en de seizoens- en jaarlijkse effecten op de temperatuur. Om dat te begrijpen, moeten we het hebben over het concept van g-functies.

G-functies

De fysica achter een boorgat is behoorlijk complex, omdat het gaat om een driedimensionaal transiënt warmtediffusieprobleem. Zonder al te diep op de wiskundige details in te gaan, merken we meteen dat de thermische interactie van het boorgat met de grond niet stopt bij de boorgatwand, maar doorgaat in de grond. Dit betekent dat:

1. Er is een wisselwerking tussen de verschillende boorgaten in hetzelfde boorveld.
2. Er is een interactie tussen het boorveld en de omringende ‘oneindige’ grond, aangezien de warmteoverdracht niet stopt aan de rand van de projectlocatie.
3. Er is een wisselwerking tussen naburige systemen.

Om deze effecten te modelleren ontwikkelde Eskilson het concept van een g-functie in zijn proefschrift in 1987: een dimensieloze functie die beschrijft hoe de temperatuur van de boorgatwand evolueert bij een constante belasting. Elk boorveldontwerp (met zijn unieke configuratie, diepte, geologische omstandigheden enz.) heeft zijn eigen karakteristieke g-functie, die kan worden gezien als de thermische vingerafdruk van het langetermijngedrag van het systeem. Hieronder ziet u een voorbeeld.

In de grafiek hierboven werd een constante warmte-injectie van 1 kW toegepast op een bepaald boorveld. Je kunt zien dat de temperatuur toeneemt, maar na verloop van tijd wordt de mate van toename kleiner. Dit kan als volgt worden begrepen: in het begin, wanneer warmte in een boorgat wordt geïnjecteerd, heeft dit alleen invloed op de directe omgeving. Aangezien dit ‘invloedsgebied’ aanvankelijk vrij klein is, is de temperatuurstijging relatief groot. Na verloop van tijd wordt meer warmte verder in de grond afgevoerd en wordt het invloedsgebied groter. Het boorgat heeft nu meer volume waardoor het warmte kan afvoeren, waardoor de temperatuurstijging kleiner wordt.

Deze steeds toenemende (of afnemende, in het geval van warmtewinning) maar minder-dan-lineaire trend beschrijft het langetermijngedrag van het boorveld, waarbij de onbalans ervoor zorgt dat de grond in de loop der jaren steeds sneller opwarmt of afkoelt. Als u begrijpt hoe uw ontwerp deze karakteristieke g-functie beïnvloedt, kunt u uw onbalans en langetermijngedrag effectiever beheren.

Er zijn drie verschillende (analytische) manieren om de g-functies van een bepaald veld te berekenen, afhankelijk van hoe de boorgaten gemodelleerd zijn. Deze zijn:

1. De oneindige lijnbron (ILS)
2. De eindige lijnbron (FLS)
3. De in(eindige) cilindrische bron (ICS/FCS)

De oneindige lijn bron is het eenvoudigst om mee te werken, omdat door de veronderstelde oneindige boordiepte het probleem van de thermische interactie tussen verschillende boorgaten tweedimensionaal wordt. Het is typisch nauwkeurig wanneer boorgaten vrij diep zijn en ver uit elkaar liggen en kan bijvoorbeeld worden gebruikt om de interferentie tussen naburige systemen te berekenen.

De eindige lijn bron gaat er, zoals de naam al aangeeft, van uit dat het boorgat een lijn van eindige lengte is. Dit is het meest gebruikte model voor boorveldsimulaties, omdat het vrij nauwkeurig is voor boorgaten die minder diep zijn en dicht op elkaar zitten.

De cilindrische bron houdt rekening met de werkelijke geometrie van het boorgat door expliciet te werken met een volumetrisch element in plaats van een oneindige dunne lijn. Dit is belangrijk bij het beschouwen van de voorbijgaande dynamische effecten binnen het boorgat op korte tijdschalen, die later in deze cursus worden besproken.

De onderstaande figuur toont de g-functie met de verschillende modellen op een semi-logaritmische schaal.

Hier worden de verschillende aannames heel duidelijk. Op de korte tijdschaal wijkt de oneindige cilindrische warmtebron af van de ILS/FLS-oplossing vanwege de werkelijke geometrie in het model. Op langere tijdschalen wordt het verschil tussen de ILS- en FLS-modellen duidelijk. Hoe hoger de verhouding tussen de boorgatlengte en de straal (d.w.z. hoe goed het boorgat een lijn benadert), hoe langer het duurt voordat de FLS afwijkt van de ILS-oplossing.

Om de eindige lijnbron te berekenen, wordt het concept van ruimtelijke superpositie wordt gebruikt. Dit betekent dat het resulterende thermische effect op één boorgat (of boorgatsegment) gelijk is aan de gewogen som van alle bijdragen. Dit wordt weergegeven in de onderstaande figuur.

Zoals te zien is, is elk boorgat verdeeld in segmenten (in dit geval 4) en heeft elk segment een specifieke warmte-uitwisseling met de grond, aangegeven door $Q_i$. Afhankelijk van de randvoorwaarde (constante warmteflux, constante boorgatwandtemperatuur (gebruikt in GHEtool Cloud) of gemengde inlaatvloeistoftemperatuur) kan de $Q_i$ voor elk segment anders zijn.

Om de g-functie van het hele boorveld te berekenen, wordt de thermische interferentie tussen alle segmenten berekend. In de afbeelding hierboven wordt het thermische effect van alle vier segmenten (gewogen door hun respectieve vermogen en afstand) op een segment van een ander boorgat berekend. Dit wordt herhaald voor alle segmenten van alle boorgaten, totdat alles is gewogen om te eindigen met één algemene thermische respons van het hele boorveld.

Voor een meer gedetailleerde wiskundige uitleg wordt de lezer verwezen naar de literatuur onderaan het hoofdstuk.

Parameters bepalen

Er zijn drie belangrijke parameters die de g-functies beïnvloeden en waar wij als boorveldontwerper invloed op hebben: thermische geleidbaarheid van de grond, boorgatafstand en boorveldconfiguratie. Hieronder wordt elk van deze parameters in meer detail besproken.

Warmtegeleidingsvermogen van de grond

Toen we de grondeigenschappen bespraken in Deel 1.3, hebben we de thermische geleidbaarheid van de grond geïntroduceerd als het vermogen van de grond om warmte te geleiden. Als de grond een hogere thermische geleidbaarheid heeft, kan je boorveld zijn warmte sneller afvoeren en sneller een groter gebied rond het boorgat gebruiken om warmte uit te wisselen. Dit verlaagt de g-functie en vermindert dus de impact van de onbalans op je gedrag op lange termijn.

Hoewel je de thermische geleidbaarheid van de grond niet direct kunt veranderen (omdat dit een geologisch gegeven is voor een bepaalde projectlocatie), kun je wel de boordiepte bepalen. Stel je bijvoorbeeld voor dat er een slecht geleidende grondlaag is op 80 m diepte. Boren in die laag zal de totale thermische geleidbaarheid van je grond verlagen, wat invloed heeft op de g-functies en het langetermijneffect.

Afstand tussen boorgaten

Zoals eerder vermeld, is een van de effecten die wordt vastgelegd in de g-functie de thermische interactie tussen de verschillende boorgaten in het boorveld. Hoe verder de boorgaten uit elkaar liggen, hoe minder ze elkaar beïnvloeden en hoe meer energie er kan worden uitgewisseld met de omringende grond. Dit effect wordt weergegeven in de onderstaande figuur.

Wanneer de afstand tussen de boorgaten groter is (bijvoorbeeld 10 m), is de g-functie duidelijk lager. Dit komt doordat de grotere afstand tussen de boorgaten ervoor zorgt dat warmte gemakkelijker kan worden overgedragen aan de omringende grond, waardoor de g-functie afneemt en dus ook de invloed van onbalans in de grond op het ontwerp.

Je kunt ook zien dat voor alle verschillende boorgatafstanden de g-functies op kortere tijdschalen convergeren. Dit komt doordat de boorgaten aanvankelijk alleen interactie hebben met de directe omgeving en elkaar nog niet ‘aanvoelen’. Na een bepaalde tijd groeien deze invloedsgebieden en beginnen ze elkaar te overlappen en divergeren de curven door de thermische interactie tussen de boorgaten. Deze divergentie treedt het eerst op bij een onderlinge afstand van 6 meter, omdat de boorgaten eerder met elkaar interageren dan bij een onderlinge afstand van 8 of 10 meter.

Borefield configuratie

Een laatste parameter die de g-functies beïnvloedt, is de configuratie van het boorveld. Als de boorgaten dicht bij elkaar in een rechthoekig (of dicht) raster zijn geplaatst, hebben de boorgaten in het midden het moeilijker om warmte over te dragen aan de omringende grond. Dit resulteert in een snellere stijging van de boorgatwandtemperatuur, wat tot uiting komt in een steilere g-functie. Als de boorgaten echter in één lijn liggen, kunnen ze gemakkelijker warmte uitwisselen met de omringende grond. Dit leidt tot een lagere g-functie en dus een kleinere invloed van onbalans op het uiteindelijke ontwerp.

Grondwaterstroming

De hierboven beschreven g-functies houden alleen rekening met geleidende warmteoverdracht in de grond. Deze aanname maakt snelle berekeningen van de grondrespons mogelijk, maar verwaarloost een factor die sommige projecten aanzienlijk kan beïnvloeden: grondwaterstroming.

Wanneer grondwater door het boorgat stroomt, neemt het warmte of koude mee stroomafwaarts via een proces dat bekend staat als advectieve warmteoverdracht, wat resulteert in een temperatuurpluim, zoals geïllustreerd in de onderstaande figuur.

Deze advectieve warmteoverdracht kan een belangrijke rol spelen in de thermische evolutie van het boorgat op lange termijn. Omdat het grondwater een deel van de onbalans wegvoert van het veld, blijft de temperatuur van de boorgatwand veel stabieler in de loop van de tijd. Dit kan een kleinere omvang van het boorveld mogelijk maken, vooral in systemen met een hoge onbalans. In het geval van seizoensgebonden thermische energieopslag (STES) kan dit effect echter nadelig zijn, omdat een deel van de opgeslagen energie kan worden meegevoerd door het grondwater, waardoor de opslagcapaciteit van het systeem en de algehele efficiëntie afnemen.

Als de grondwaterstroming bekend is en uw boorveld lijdt aan langdurige onbalans, is het het beste om de langste dimensie van het boorveld loodrecht op de grondwaterstroming te oriënteren. Deze oriëntatie maximaliseert de positieve invloed van advectieve warmteoverdracht door het contact tussen uw boorveld en de stroming te minimaliseren. Omgekeerd verhoogt het plaatsen van het boorveld parallel aan de grondwaterstroming het risico op warmteverlies aan de omgeving.

Rekening houden met grondwaterstroming is een uitdaging. Het is een parameter die zowel moeilijk in te schatten is als een grote invloed heeft op de simulatieresultaten. Als je deze effecten specifiek wilt modelleren, kun je speciale software gebruiken zoals Modflow, Feflow of seequent. Echter, in de praktijk zal het aannemen van alleen geleidende warmteoverdracht waarschijnlijk resulteren in een conservatieve schatting, omdat grondwaterstroming de prestaties in werkelijkheid vaak verbetert.

Van g-functie tot langetermijneffect

Tot nu toe hebben we over de g-functies gesproken in termen van een constante injectie of onttrekking van warmte in of uit de grond. In werkelijkheid varieert de geothermische belasting echter in de tijd. Om hier rekening mee te houden, kunnen we een methode genaamd temporele superpositie gebruiken om de g-functies voor een constante belasting om te zetten naar een variërende belasting. Dit gebeurt in drie stappen, geïllustreerd in de afbeelding hieronder.

1. Belastingontleding
   Ten eerste wordt de echte geothermische belasting (op maandelijkse of zelfs uurlijkse tijdschaal) opgesplitst in een reeks constante belastingen. Als we bijvoorbeeld een belasting hebben van 1, 0,5, -0,5 en 0, zoals weergegeven in de grafiek links, dan kunnen we deze ontbinden in constante belastingen van 1, -0,5, -1 en 0,5, zoals weergegeven in de middelste grafiek, die elk op een ander tijdstip beginnen.

   Wat we doen is het volgende: we beginnen met een constante belasting van 1 vanaf t=0. Op t=20, daalt de oorspronkelijke belasting van 1 naar 0,5 (een verandering van -0,5), dus voegen we een constante belasting van -0,5 toe vanaf t=20. Als we de oorspronkelijke 1 en de nieuwe -0,5 van t>20, eindigen we met 0,5, zoals de bedoeling was. Dit gaat verder: op t=40, daalt de belasting naar -0,5 (een verandering van -1), dus voegen we een constante belasting van -1 toe beginnend bij t=40. Het resultaat, $=-0.5$, overeenkomt met de oorspronkelijke gegevens. Dit proces gaat door voor elke stap in het belastingsprofiel.

2. De g-functie toepassen op elke constante belasting
   Nu de belasting is onderverdeeld in verschillende constante componenten, kunnen we de g-functie toepassen op elke component afzonderlijk. Dit is te zien in de overgang van de middelste figuur naar de figuur rechts. Elke keer dat een nieuwe constante belasting begint, wordt een bijbehorende g-functie gestart. Bijvoorbeeld bij t=0, passen we een g-functie toe vermenigvuldigd met de belasting van 1. Op t=20, passen we een nieuwe g-functie toe vermenigvuldigd met -0,5, enzovoort. Alle g-functies zijn hetzelfde, omdat ze alleen afhangen van het boorveldontwerp, maar ze worden geschaald overeenkomstig de grootte van de belasting.

3. De g-functies sommeren
   Om ten slotte de resulterende bodemtemperatuur in de tijd te bepalen, tellen we alle actieve g-functies verticaal bij elkaar op. Van t=0 naar t=20, draagt slechts één g-functie bij. Van t=20 naar t=40, sommeren we twee g-functies, en uit t=40 naar t=60, drie, enzovoort. Het uiteindelijke resultaat is de zwarte lijn in de grafiek, die de temperatuur van de boorgatwand in de loop van de tijd beschrijft.

Door deze methode van temporele superpositie te gebruiken, kunnen zowel de seizoensvariatie in de grond als het thermische gedrag op lange termijn berekend worden met constante en elegante g-functies.

Conclusie

In dit hoofdstuk werd het langetermijneffect van het boorveld uitgelegd met het concept van g-functies die zowel de interactie tussen de verschillende boorgaten in het boorveld als de interactie van het boorveld met zijn omgeving modelleren. Een kleinere g-functie was gunstig voor het langetermijneffect en dus voor gevallen met een aanzienlijke onbalans.

Deze bodemrespons kan worden beïnvloed door de boorgaten zo ver mogelijk uit elkaar te plaatsen, de configuratie zoveel mogelijk open te maken en te proberen het boorgat in goed geleidende grondlagen te installeren.

In het volgende hoofdstuk wordt de kennis van het korte- en langetermijngedrag van het boorveld gebruikt voor onze eerste geothermische boorveldsimulatie.

Vraag

Referenties

• • Eskilson, P. 1987. Thermische analyse van warmtewinningsboringen. Doctoraalscriptie, Universiteit van Lund.
  • Cimmino, M., Bernier, M. 2014. Een semi-analytische methode voor het genereren van g-functies voor geothermische boorvelden, Internationaal Tijdschrift voor Warmte- en Massaoverdracht, Volume 70, pagina's 641-650, ISSN 0017-9310, https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2013.11.037
  • Picard, D. 2017. Modellering, optimale regeling en HVAC-ontwerp van grote gebouwen met bodemwarmtepompsystemen. Doctoraatsthesis, Katholieke Universiteit Leuven.
  • Molina-Giraldo, N., Blum, P., Zhu, K., Bayer, P., & Fang, Z. (2011). A moving finite line source model to simulate borehole heat exchangers with groundwater advection. International Journal of Thermal Sciences, 50(12), 2506-2513.
  • Gao, Z., Hu, Z., Chen, T., Xu, X., Feng, J., Zhang, Y., Su, Q., Ji, D. (2022). Numeriek onderzoek naar de efficiëntie van warmteoverdracht voor boorgatwarmtewisselaars in Linqu County, provincie Shandong, China, Energierapporten, Volume 8, pagina's 5570-5579, ISSN 2352-4847, https://doi.org/10.1016/j.egyr.2022.04.012.
  • Loveridge, F. (2012). De thermische prestaties van funderingspalen gebruikt als warmtewisselaars in bodemenergiesystemen. Proefschrift, Universiteit van Southampton, Verenigd Koninkrijk.