Partie 4 : Réponses

Dans ce chapitre, nous vous fournirons les réponses à la question posée à la fin de chaque chapitre de la quatrième partie du cours.

Question 1.1

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Calculer les pertes locales totales, c'est-à-dire la somme de tous les facteurs de pertes locales, pour le trajet hydraulique indiqué en vert ci-dessous. La section en pointillés peut être ignorée.

Dans le trajet hydraulique ci-dessus, quatre coudes à 90°, un coude en U et deux jonctions en T (par lesquels le flux d'intérêt passe directement) sont représentés. Selon le tableau ci-dessous, le facteur de perte local est de 1,8.

Question 2.1

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Le graphique ci-dessous montre les chutes de pression pendant le chauffage et le refroidissement, et la transition d'un écoulement laminaire à un écoulement turbulent est clairement visible. Comme on pouvait s'y attendre, le passage d'un écoulement laminaire à un écoulement turbulent se produit plus tôt pendant le refroidissement, puisque le nombre de Reynolds est plus élevé. Comment est-il possible que la perte de charge à 0,55 l/s pendant le refroidissement, qui est turbulent, soit inférieure à la perte de charge pendant le chauffage, qui est laminaire ?

Cette question illustre l'un des nombreux résultats contre-intuitifs rencontrés dans la conception hydraulique, puisqu'on s'attend normalement à ce qu'un écoulement turbulent entraîne une perte de charge plus importante qu'un écoulement laminaire. Pour comprendre ce qui se passe, examinons de plus près les pertes par frottement (les pertes locales n'étant pas pertinentes pour la question qui nous occupe) :$$\Delta P = f\cdot \frac{L}{D}\cdot \frac{\rho v^2}{2}$$où $\Delta P$ est la perte de charge (Pa), $f$ est le facteur de frottement de Darcy-Weisbach, $L$ est la longueur du tuyau (m), $D$ est le diamètre du tuyau (m), $\rho$ est la densité du fluide (kg/m³), et $v$ est la vitesse du fluide (m/s).

Lorsque l'on compare la perte de charge lors de l'extraction et de l'injection au même débit, la vitesse du fluide dans l'équation ci-dessus est identique dans les deux cas. Étant donné que la densité ne varie pas de manière significative en fonction de la température (comme nous l'avons vu plus haut), la vitesse du fluide est identique dans les deux cas. ici), le terme $\rho v^2/2$ reste pratiquement constant. Cela signifie que la seule différence significative entre les cas laminaires et turbulents est due au facteur de friction.

Dans le diagramme de Moody ci-dessus, il est clair que le facteur de friction à environ Re=1200 (dans le régime laminaire) est plus élevé que le facteur de friction dans le régime transitoire vers le régime turbulent. Étant donné que le passage du mode extraction au mode injection peut facilement doubler le nombre de Reynolds, le facteur de frottement dans le cas laminaire peut en effet être plus élevé que dans le cas turbulent pendant l'injection de chaleur. Par conséquent, la chute de pression peut être plus importante dans la première situation.

Question 2.2

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Pourquoi la perte de charge sur le graphique ci-dessous, à débit constant, est-elle plus élevée en hiver qu'en été ?

Question 2.3

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Dans le cas du calcul de l'énergie d'une pompe pour un débit constant, les températures du fluide sont également prises en compte. Pourquoi cela est-il nécessaire, étant donné que le débit reste constant ?

La demande d'énergie de la pompe $E_e$ en (kWh) est donnée par : $$E_e=\frac{\sum\limites_{i=0}^{8760 n}{P_e(i)}}{n}$$où $P_e(i)$ est donné par :$$P_e=\frac{\dot{Q}\cdot \Delta P}{\eta}$$où$P_e$ est la puissance de la pompe électrique en (kW), $\dot{Q}$ le débit en (m³/s), $\Delta P$ la perte de charge en (kPa) et $\eta$ l'efficacité de la pompe électrique.

Bien que $\dot{Q}$ soit indépendant de la température du fluide, la perte de charge ne l'est pas, comme nous l'avons vu précédemment.

La température du fluide est importante pour deux raisons :

• Tout d'abord, le facteur de friction dépend du nombre de Reynolds, qui dépend fortement de la température.
• Deuxièmement, la densité est également une fonction de la température et affecte la perte de charge, bien que son impact soit moins important que celui du facteur de friction.

Question 3.1

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Dans la configuration hydraulique ci-dessous, si le débit d'entrée est de 1 l/s, quel sera le débit à travers chaque trou de forage ?

La configuration hydraulique ci-dessus est une combinaison de connexions en série et de connexions Tichelmann. On peut voir qu'il y a deux groupes de trois forages connectés en série. Une propriété essentielle des forages connectés en série est qu'ils ont tous exactement le même débit, ce qui signifie qu'ils peuvent être considérés comme un seul forage virtuel.

Il reste donc deux forages (virtuels) connectés dans une configuration Tichelmann, qui répartit également le débit entre eux. Par conséquent, le débit est de 0,5 l/s par groupe de forages et donc de 0,5 l/s par forage.

Question 3.2

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Ci-dessous, un exemple est donné de deux forages connectés en parallèle. Pouvez-vous expliquer pourquoi les deux groupes ci-dessus sont connectés dans une configuration Tichelmann au lieu d'une connexion parallèle ?

La différence conceptuelle entre les connexions parallèles et les connexions Tichelmann est que, dans ce dernier cas, chaque chemin hydraulique a la même perte de charge. En pratique, cela signifie qu'il faut s'assurer que chaque sonde a la même longueur de tuyau horizontal, ce qui n'est pas le cas pour la connexion parallèle illustrée ci-dessus. Ici, le dernier trou de forage a clairement une longueur de tuyau horizontale supérieure à celle du premier.

À première vue, la situation combinée ci-dessus peut sembler être une simple connexion parallèle. Cependant, étant donné qu'il s'agit de groupes de forages connectés en série, le système peut être représenté comme suit, où chaque groupe est remplacé par un forage virtuel équivalent. Cette simplification est possible parce que :

1. Le débit à travers chaque forage est identique pour tous les forages connectés en série.
2. Les tuyaux du double tube en U ont des directions d'écoulement opposées : une connexion de tubes en U s'écoule de gauche à droite, tandis que l'autre s'écoule de droite à gauche.

Cela simplifie considérablement la situation, en montrant clairement que la longueur horizontale de la tuyauterie dans chaque voie hydraulique est en fait identique. Par conséquent, cette configuration est une connexion Tichelmann plutôt qu'une connexion parallèle.

Question 3.3

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Pourquoi y a-t-il deux sauts dans le graphique de perte de charge lors de l'injection, mais un seul lors de l'extraction dans le cas d'une connexion directe au collecteur ?

En mode injection, il y a un petit saut à environ 2 l/s et un plus grand à environ 3,5 l/s, alors qu'en mode extraction, il n'y a qu'un seul saut, à environ 4 l/s. Lorsque les connexions horizontales sont prises en compte dans le calcul de la perte de charge, de multiples transitions laminaires à turbulentes peuvent se produire, puisque la sonde verticale, les tuyaux latéraux et, éventuellement, le tuyau collecteur peuvent chacun nécessiter un débit différent pour devenir turbulents.

Dans la situation ci-dessus, pendant l'extraction, la conduite qui devient turbulente à environ 4 l/s est la conduite latérale. Cependant, sur toute la plage de débit présentée ici, la sonde verticale reste laminaire, ce qui signifie que sa transition vers la turbulence se situe en dehors de la plage de l'axe des x. En mode injection, la partie horizontale devient turbulente dès 2 l/s environ, tandis que la sonde verticale passe à la turbulence à 3,5 l/s environ.

Question 3.4

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Lors du passage d'un raccordement direct à un raccordement en série de deux forages, que faut-il modifier dans les coefficients de perte de charge locaux ?

Supposons que les forages soient tous disposés sur une ligne, de sorte qu'il n'y ait pas de coude à 90° dans le plan horizontal. Dans cette situation, les pertes locales lors du raccordement direct de chaque trou de forage au collecteur sont constituées par le coude en U au fond du trou de forage, le coude à 90° au sommet du trou de forage reliant la partie verticale au raccordement horizontal, et le raccordement au collecteur lui-même. Si l'on suppose que toutes ces pertes locales ont un facteur de perte de 0,5, le facteur de perte total dans ce cas est de 2,5.

Si les mêmes forages sont connectés en série, deux coudes à 90° supplémentaires, ainsi qu'un autre coude en U, sont introduits pour chaque forage supplémentaire dans le trajet hydraulique. En gardant tout le reste inchangé, le facteur de perte local devient alors 4. Ceci est également illustré dans la figure ci-dessous, à l'exclusion du collecteur.

Bien que le coefficient de perte locale augmente de 50%, le facteur le plus important de l'augmentation de la perte de charge sera les pertes par frottement causées par le débit plus élevé dans la tuyauterie horizontale.

Il est possible de convertir les pertes locales en pertes majeures équivalentes en considérant l'équation de la perte de charge globale :$$\Delta P = \left(f\cdot \frac{L}{D}+\sum{K}\right)\cdot \frac{\rho v^2}{2}$$En se basant sur l'équation ci-dessus, il est clair que, pour un facteur de frottement donné $f$ et un diamètre de conduite $D$, les pertes locales peuvent être écrites comme des pertes par frottement dans une conduite d'une certaine longueur équivalente $L$ : $$L=\frac{K\cdot D}{f}$$Fpar exemple, lorsque le facteur de frottement est de 0.035, un facteur de perte locale de 4 dans le cas ci-dessus équivaut à environ 3 m de tuyau DN32 PN16, qui a un diamètre intérieur de 26 mm.