Bei der Planung von Bohrlöchern werden häufig nur die thermischen Aspekte berücksichtigt, doch das hydraulische Gegenstück ist für die Leistung und Machbarkeit des Systems ebenso wichtig. In diesem Kapitel wird das Konzept des Druckabfalls erläutert, das für die hydraulische Auslegung von zentraler Bedeutung ist.
Was ist ein Druckverlust?
Der Druckabfall ist ein fluiddynamisches Konzept, das wie folgt definiert ist der Druckunterschied zwischen Punkt A und B aufgrund von Reibung, und dieses Reibungselement ist entscheidend. Diese Reibung kann zwischen der Flüssigkeit und den Rohrwänden, den Ventilen, Pumpen usw., aber auch innerhalb der Flüssigkeit selbst, zwischen verschiedenen Flüssigkeitstropfen, auftreten. Der Druckabfall kann daher als die Anstrengung betrachtet werden, die erforderlich ist, um die Flüssigkeit durch das System zu bewegen. Obwohl die Berechnung des Druckabfalls ein komplizierter Parameter sein kann, spielen die folgenden Parameter eine Rolle:
- Länge, Durchmesser und Viskosität der Rohre. Wenn Sie ein längeres Rohr oder ein Rohr mit kleinerem Durchmesser haben, wird es schwieriger sein, die Flüssigkeit zu befördern. Das Gleiche gilt für die Viskosität: Wenn Sie Ihr Bohrloch mit Honig füllen, der eine sehr hohe Viskosität hat, können Sie sich vorstellen, wie viel Mühe es kostet, ihn durch das System zu bewegen.
- Weiterleitung. Ein Bohrlochfeld, bei dem die horizontalen Verbindungen zwischen den Bohrlöchern gerade und parallel sind, lässt die Flüssigkeit leichter fließen als eines, bei dem die Bohrlöcher mit vielen Bögen oder rechtwinkligen Verbindungen verbunden sind.
Beide Aspekte tragen zur Berechnung des Druckabfalls bei und werden als Reibungsverluste (größere Verluste) bzw. lokale Verluste (kleinere Verluste) bezeichnet. Beide werden im Folgenden in umgekehrter Reihenfolge erläutert, um das Verständnis zu erleichtern.
Lokale Verluste
Lokale Verluste (auch Kleinstverluste genannt) sind Beiträge zum Druckverlust, die bestimmten Komponenten in der hydraulischen Konstruktion zugeordnet werden können. Dazu gehören Krümmer, Verbindungen, Ventile usw. Die nachstehende Tabelle zeigt einige Beispiele für verschiedene lokale Verluste, die durch den Faktor $K$ definiert sind.
Es gibt keine endgültige Antwort auf den genauen lokalen Verlustfaktor für ein bestimmtes Bauteil. Die oben genannten Werte dienen als allgemeiner Leitfaden, aber in den Referenzen sind weitere Quellen angegeben. Wenn Sie genau wissen, welche Produkte verwendet werden sollen, können Sie Ihren Lieferanten nach den spezifischen Werten fragen, da er in der Regel über diese Informationen verfügt.
Wie aus der Tabelle hervorgeht, hat ein glatter Bogen (insbesondere wenn er geflanscht ist) einen niedrigeren Verlustfaktor als ein rechtwinkliger Bogen, was den Erwartungen entspricht. Ebenso haben 45°-Bögen niedrigere Verlustfaktoren als 90°-Bögen.
Ausgehend von den obigen lokalen Druckabfallfaktoren kann die folgende Formel verwendet werden, um sie in einen allgemeinen Druckabfall umzurechnen:$$\Delta P=\left(\sum K\right)\cdot \frac{\rho v^2}{2}$$wobei $\Delta P$ der Druckabfall in (Pa), $\rho$ die Flüssigkeitsdichte in (kg/m³) und $v$ die Flüssigkeitsgeschwindigkeit im Rohr in (m/s) ist.
Das bedeutet, dass der Gesamtbeitrag der lokalen Druckabfälle zum Gesamtdruckabfall einfach durch Summierung aller verschiedenen K-Werte entlang eines bestimmten hydraulischen Weges und Multiplikation mit $\rho v^2/2$ bestimmt wird.
Reibungsverluste
Reibungsverluste (auch Hauptverluste genannt) sind Druckverluste, die nicht auf bestimmte Komponenten zurückzuführen sind, sondern im gesamten System auftreten. Diese werden mit der bekannten Darcy-Weisbach-Formel berechnet:
$$\Delta P = f \cdot \frac{L}{D}\cdot \frac{\rho v^2}{2}$$wobei $\Delta P$ wiederum der Druckabfall in (Pa) ist, $f$ der dimensionslose Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor ist, $L$ ist die Länge des Rohres in (m), $D$ ist der Durchmesser des Rohres in (m), und $\rho$ und $v$ sind die Flüssigkeitsdichte in (kg/m³) bzw. die Flüssigkeitsgeschwindigkeit in (m/s).
Dies entspricht der Intuition, da ein längeres Rohr zu höheren Druckverlusten führt. Der einzige neue Faktor ist der Darcy-Weisbach-Reibungsfaktor, der mithilfe des Moody-Diagramms ermittelt werden kann.
Moody-Diagramm
Das Moody-Diagramm ist ein bekanntes Diagramm in der Fluiddynamik, das zur Bestimmung des Darcy-Weisbach-Reibungsfaktors für verschiedene Reynolds-Zahlen verwendet werden kann und auf einer logarithmischen Skala dargestellt wird. Das bedeutet, dass die Linien gleicher Abstufungen (von 1 über 2 bis 3 usw.) nicht gleichmäßig verteilt sind.
Im Moody-Diagramm sind drei verschiedene Strömungsregime dargestellt: das laminare Regime auf der linken Seite, das Übergangsregime in der Mitte und das turbulente Regime auf der rechten Seite. (Falls Sie sich nicht an die verschiedenen Strömungsregime erinnern können, lesen Sie bitte noch einmal Teil 2.2.)
Laminarer Bereich (Re<2300)
Im laminaren Bereich kann der Reibungsfaktor analytisch als $64/Re$ definiert werden. Das bedeutet, dass, solange die Strömung im laminaren Bereich bleibt, eine Erhöhung der Reynoldszahl (z. B. durch Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit oder Verringerung der Viskosität) zu einem niedrigeren Reibungsfaktor und folglich potenziell zu einem geringeren Druckabfall führt.
Turbulenter Bereich (Re>4000)
Im Gegensatz zum laminaren Regime gibt es für das turbulente Regime keinen eindeutigen Reibungsfaktor, da er von der relativen Rohrrauhigkeit abhängt (d. h. die Rohrrauhigkeit geteilt durch den Rohrdurchmesser). Bei Erdwärmesonden ist dieser Wert in der Regel recht klein (in der Größenordnung von einigen Mikrometern), was einem glatten Rohr nahe kommt. Es gibt mehrere Korrelationen, wobei die am weitesten verbreitete und standardmäßig verwendete die Colebrook-White-Gleichung ist.
Die Colebrook-White-Gleichung ist die in der Fluiddynamik verwendete Standardgleichung zur Berechnung des Reibungsfaktors. Er ist definiert als $$\frac{1}{\sqrt{f}}=-2log_{10}\left(\frac{\epsilon/D}{3.7}+\frac{2.51}{Re\sqrt{f}}\right)$$wobei $f$ der Reibungsfaktor, $Re$ die Reynoldszahl, $\epsilon$ die Rohrrauhigkeit in (m) und $D$ der Rohrdurchmesser in (m) ist. Der größte Nachteil dieser Gleichung ist, dass sie implizit ist und eine Iteration zur Bestimmung von $f$ erfordert.
Übergangsbereich (2300<Re<4000)
Wie in Teil 2.2, geht das Fluid nicht direkt von einem laminaren in einen turbulenten Zustand über, sondern durchläuft dazwischen eine Übergangsphase, in der die Strömung bereits eine gewisse lokale Turbulenz aufweist, aber noch nicht voll entwickelt ist. Im Fall des Bohrlochwiderstands und der Nusselt-Zahl wurde in der Literatur von Gnielinski (2013) eine lineare Interpolation vorgeschlagen, um diese Übergangszone zu berücksichtigen. Für den Reibungsfaktor gibt es jedoch keine solche Näherung. Daher wird die Übergangszone in GHEtool bei der Berechnung des Druckabfalls nicht berücksichtigt.
Es gibt Korrelationen, wie z. B. die von Churchill (1977) vorgeschlagene, die die laminare, die Übergangs- und die turbulente Strömung in einer einzigen Gleichung berücksichtigen. Diese Gleichung lautet wie folgt: $$f=2\left[ \left( \frac{8}{Re}\right)^{12} + \frac{1}{(A+B)^{3/2}}\right] ^{1/12}$$wobei$$A=\left[2.457 ln\frac{1}{(7/Re)^{0.9}+0.27 \epsilon/D}\right]^{16}$$und$$B=\left(\frac{37530}{Re}\right)^{16}$$wobei $f$ der Reibungsfaktor ist, $Re$ ist die Reynolds-Zahl, $\epsilon$ ist die Rohrrauhigkeit in (m) und $D$ ist der Rohrdurchmesser in (m).
Nach Perry et al. (2018) wird jedoch für Entwurfszwecke ein konservativer Ansatz bevorzugt. Daher wird in GHEtool der laminare Bereich mit $64/Re$ modelliert, während die Übergangs- und Turbulenzbereiche mit der Colebrook-White-Gleichung modelliert werden.
Gesamtdruckverlust
Wenn sowohl die lokalen als auch die Reibungsverluste berücksichtigt werden, ergibt sich der Gesamtdruckabfall wie folgt: $$\Delta P = \left(f\cdot \frac{L}{D}+\sum{K}\right)\cdot \frac{\rho v^2}{2}$$
Unten ist ein Bild für eine einzelne DN40 U-Sonde von 100 m (also 200 m insgesamt) mit 25 v/v% MPG bei 0 °C dargestellt. Bei etwa 0,35 l/s erfolgt der Übergang von laminarer zu transienter oder turbulenter Strömung.
Wichtige Beziehungen
Aus der obigen Gleichung lassen sich mehrere wichtige Beziehungen ableiten, die in den folgenden Kapiteln und im weiteren Verlauf des Kurses verwendet werden. (Die vollständige Herleitung finden Sie im Kasten "Vertiefung der Erkenntnisse" weiter unten).
- $\Delta P \propto L$
Dies entspricht der Intuition: Wenn wir die Rohrlänge verdoppeln, verdoppelt sich auch der Druckabfall über das Rohr. Dies ist z. B. wichtig, wenn man parallele oder serielle Verbindungen von Bohrlöchern in Betracht zieht (wie in Teil 4.3). - $\Delta P \propto \dot{Q}^2$
Dies unterstreicht die Bedeutung der Durchflussmenge (und, wie im nächsten Kapitel erörtert wird, die Verwendung variabler Durchflussmengen). Eine geringere Durchflussmenge verringert den Druckabfall erheblich. Diese quadratische Beziehung ist auch in der obigen Grafik deutlich zu erkennen. - $\Delta P \propto D^{-5}$
Diese Beziehung unterstreicht die Bedeutung des Rohrdurchmessers der Sonde, einer der wichtigsten Konstruktionsparameter, die dem Konstrukteur zur Verfügung stehen. Diese Beziehung wird im nächsten Teil dieses Kurses ausgiebig verwendet werden.
Die Bedeutung des Druckabfalls
In den obigen Abschnitten wurde erläutert, was ein Druckabfall ist und wie er berechnet werden kann. Eine letzte Frage bleibt jedoch offen: Da es bei der Planung von geothermischen Bohrfeldern in erster Linie darum geht, die Temperaturen innerhalb bestimmter Grenzen zu halten, warum müssen wir den Druckabfall berücksichtigen?
Auswahl der Pumpe
Bei der Auslegung eines Bohrlochs wird immer ein bestimmter Durchfluss festgelegt (oder ein variabler Durchfluss verwendet, wie in Teil 3.3). Diese Durchflussmenge bestimmt den effektiven Wärmewiderstand des Bohrlochs und damit die Gesamtleistung des Systems. Jeder Durchfluss ist jedoch mit einem Druckabfall verbunden, den die Pumpe überwinden muss. Nachstehend finden Sie ein Beispiel für eine Pumpenkennlinie, wie sie in der Regel in technischen Unterlagen zu finden ist.
Die roten Linien in der obigen Abbildung stellen die so genannte Pumpenkennlinie des Systems bei unterschiedlichen Belastungsgraden der Umwälzpumpe dar. Die Linie 100% definiert die Grenze aller möglichen Durchfluss-Druck-Punkte, die erreicht werden können, wenn die Umwälzpumpe mit ihrer maximalen Leistung arbeitet.
Wenn ein System beispielsweise für eine Durchflussmenge von 0,4 l/s ausgelegt ist und einen berechneten Druckabfall von 33 kPa aufweist, liegt dies im Betriebsbereich der Pumpe, d. h. das System kann diese Durchflussmenge bei diesem Druck liefern, und daher wird alles wie simuliert funktionieren. Beträgt die Auslegungsdurchflussmenge jedoch 0,37 l/s, der Druckabfall jedoch 62 kPa, kann die Pumpe diese Menge nicht liefern, und das Bohrlochfeld erhält nicht die erforderliche Durchflussmenge.
Im letzteren Fall bedeutet dies, dass entweder eine zusätzliche primäre Umwälzpumpe installiert oder die Auslegung so überarbeitet werden sollte, dass die Durchflussmenge und der Druckabfall vom System erreicht werden können.
Fazit
In diesem Kapitel wurde das Konzept des Druckverlusts und seine Bedeutung für die geothermische Planung vorgestellt. Es wurden sowohl die großen (Reibungs-)Verluste als auch die kleinen (lokalen) Verluste diskutiert.
Auf der Grundlage dieser Erkenntnisse soll in einem nächsten Schritt genauer untersucht werden, wie sich der Druckabfall über den Simulationszeitraum entwickelt und in welchem Verhältnis er zur erforderlichen Pumpenleistung und zum Pumpenstromverbrauch steht.
Fragen
Berechnen Sie die gesamten lokalen Verluste, d. h. die Summe aller lokalen Verlustfaktoren, für den unten grün markierten hydraulischen Pfad. Der gestrichelte Abschnitt kann ignoriert werden.
Betrachtet man die Druckabfallkurve für die DN40-Sonde, so zeigt der erste, laminare Teil nicht das quadratische Verhalten, das man erwarten würde, da $\Delta P \propto \dot{Q}$. Warum ist das so?
Literaturverzeichnis
- Die Engineering ToolBox (2004). Rohr- und Schlauchsystemkomponenten - Kleine (dynamische) Verlustkoeffizienten. [online] Verfügbar unter: https://www.engineeringtoolbox.com/minor-loss-coefficients-pipes-d_626.html [Zugriff am 28-04-2026].
- Colebrook, C. F. (1939). Turbulent Flow in Pipes, with Particular Reference to the Transition Region Between the Smooth and Rough Pipe Laws. Zeitschrift der Institution der Bauingenieure. 11 (4): 133-156
- Gnielinski, V. (2013). Zur Wärmeübertragung in Rohren. Internationale Zeitschrift für Wärme- und Stoffübertragung, 63, 134-140. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2013.04.015
- Perry, R.H., Green, D.W. und Southard, M.Z. (2018) Perrys Handbuch für Chemieingenieure. 9. Auflage, McGraw-Hill Education, New York, 2272. Online verfügbar hier.
- Churchill, S. W. (1977). Friction Factor Equations Spans All Fluid-Flow Regimes. Zeitschrift für Chemieingenieurwesen, 84, 91-92.