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Partie 6
Chapitre 3
juin 2026
Wouter Peere

GEROtherm VARIO et FLUX

Ce chapitre explique la modélisation des sondes GEROtherm VARIO et FLUX de HakaGerodur, ainsi que l'utilisation du théorème de la valeur moyenne pour tenir compte de leur géométrie conique.

GEROtherm VARIO et FLUX

Les sondes GEROtherm® FLUX et VARIO sont deux échangeurs de chaleur innovants développés par HakaGerodur. Elles sont conçues pour offrir la même résistance à la pression qu’une sonde géothermique lisse classique, tout en présentant une perte de charge moindre. Pour y parvenir, l'épaisseur de la paroi de la sonde est augmentée vers le fond du forage, garantissant ainsi la résistance requise là où la pression statique est la plus élevée. Cette conception confère aux sondes VARIO et FLUX un diamètre intérieur globalement plus grand, ce qui contribue à réduire la perte de charge. Une coupe verticale d'une sonde FLUX est illustrée ci-dessous.

Du point de vue de la modélisation, les sondes GEROtherm VARIO et GEROtherm FLUX sont toutes deux considérées comme des tubes coniques. Cependant, les sondes FLUX sont conçues pour des forages très profonds (jusqu’à 500 m), tandis que les sondes VARIO sont destinées à des systèmes moins profonds (jusqu’à 250 m).

Coupe verticale de la sonde GEROtherm® FLUX 43DN PN32.

Pour plus d'informations sur les sondes GEROtherm VARIO et FLUX, veuillez consulter respectivement, ici et ici.

Développement de modèles

Cette section traite de la mise au point des modèles pour les sondes coniques GEROtherm VARIO et FLUX.

Un tuyau, trois régions

En examinant de plus près les sondes VARIO et FLUX, on constate qu’elles se composent de trois sections. La première section de la sonde est un tube régulier et lisse, d'épaisseur de paroi constante, pour lequel la solution est déjà connue. La dernière section de la sonde est également un tube régulier, d'épaisseur de paroi constante, mais différente. C'est pour la section intermédiaire, où l'épaisseur de paroi augmente progressivement, qu'il faut développer un nouveau modèle.

Certaines sondes GEROtherm VARIO se terminent immédiatement après la section conique et ne comportent donc pas de section finale à épaisseur de paroi constante. Cela n'a aucune incidence sur l'élaboration du modèle, car pour ces sondes, la section finale a simplement une longueur fictive égale à zéro.

Les trois modèles différents pour la conception de la sonde conique.

Une première idée pourrait être de calculer simplement la valeur moyenne des paramètres pertinents (tels que le nombre de Reynolds, le coefficient de frottement et la résistance thermique du forage) entre le début et la fin de la section conique. Cependant, comme ces paramètres ne varient pas de manière linéaire en fonction de la profondeur du forage (et de l'épaisseur de paroi correspondante), cela ne permet pas d'obtenir une estimation fiable. Une approche plus précise consiste à utiliser le théorème de la valeur moyenne, dont il sera question dans la section suivante.

Théorème de la valeur moyenne

En règle générale, pour calculer une valeur moyenne, on prend deux valeurs et on divise leur somme par deux. Cela suppose intrinsèquement une relation linéaire entre ces deux valeurs. Cependant, lorsque cette relation est loin d'être linéaire, cette approche n'est pas très précise. Prenons comme exemple la ligne rouge du graphique ci-dessous.

Illustration graphique du théorème de la valeur moyenne. — Illustration graphique du théorème de la valeur moyenne. (source : https://www.statisticshowto.com/calculus-problem-solving/intermediate-value-theorem/mean-value-theorem)

Pour calculer la valeur moyenne de la ligne rouge entre $a$ et $b$, on peut utiliser la formule suivante : $$f(c) = \frac{1}{b-a}\∫_a^b f(x) dx, où $$ et $b$ sont les points entre lesquels la valeur moyenne doit être calculée (dans notre cas, le début et la fin de la section conique), $f(x)$ est la fonction pour laquelle la valeur moyenne doit être calculée, et $f(c)$ est la valeur moyenne proprement dite. L'idée est de trouver un rectangle de base $b-a$ et de hauteur $f(c)$ tel que l'aire $(b-a)f(c)$ soit égale à l'aire sous la courbe d'origine.

À première vue, cela peut sembler trop compliqué. Cependant, si l'on examine le graphique du nombre de Reynolds dans la section conique des sondes, on constate une différence nette. Comme nous utilisons de longues sondes (jusqu’à 500 m pour le GEROtherm FLUX), cette différence peut avoir un impact significatif, en particulier dans la zone transitoire. Le théorème de la valeur moyenne est donc appliqué lors du calcul du nombre de Reynolds, du coefficient de frottement, de la perte de charge et de la résistance thermique effective du forage.

Différence entre l'utilisation de la valeur moyenne et le théorème de la valeur moyenne pour le nombre de Reynolds dans la partie conique.

Il est également possible, en utilisant le théorème de la valeur moyenne, de déduire des solutions analytiques pour certaines propriétés, telles que le nombre de Reynolds. Si la section conique commence par un diamètre intérieur de $D_{in,0}$ et que l'épaisseur de paroi augmente à un taux de $a$ en (m/m), le diamètre intérieur à la position $x$ (mesuré à partir du sommet de la section conique) peut être calculé comme suit :$$D_{in}(x)=D_{in,0}-2ax$$Le nombre de Reynolds est défini comme suit :$$Re = \frac{\rho DV}{\mu}$$ où $\rho$ est la densité du fluide en (kg/m³), $D$ le diamètre intérieur du tuyau en (m), $V$ la vitesse du fluide en (m/s), et $\mu$ la viscosité dynamique du fluide en (Pa·s). Comme nous savons que la vitesse d'écoulement $V$ dépend du débit $\dot{V}$ en (m³/s) et de la section transversale $A$, le nombre de Reynolds peut s’écrire comme suit :$$Re=\frac{\rho D\dot{V}}{\mu A}=\frac{4\rho D\dot{V}}{\mu\pi D^2}=\frac{4\rho\dot{V}}{\mu\pi D}$$En utilisant le diamètre intérieur dépendant de la position, le nombre de Reynolds peut s'écrire en fonction de la position $x$ dans la section conique :$$Re(x)=\frac{4\rho\dot{V}}{\mu\pi D(x)}=\frac{4\rho\dot{V}}{\mu\pi(D_{in,0}-2ax)}$$En utilisant le théorème de la valeur moyenne, le nombre de Reynolds moyen $\overline{Re}$ peut être calculé comme suit :$$\overline{Re}(x)=\frac{1}{x-0}\int_0^xRe(x)dx=\frac{1}{x}\int_0^x\frac{4\rho\dot{V}}{\mu\pi(D_{in,0}-2ax)}dx$$Ce qui donne :$$\overline{Re}(x)=\frac{-2}{x}\frac{\rho\dot{V}}{\mu\pi}\left[\ln(D_{in,0}-2ax)-\ln(D_{in,0}) \right]$$

Comportement des modèles GEROtherm VARIO et FLUX

À partir du modèle ci-dessus, la résistance thermique effective du forage et la perte de charge des sondes GEROtherm VARIO et FLUX sont examinées ci-après.

Toutes les simulations ci-dessous sont réalisées à partir d'un forage d'une profondeur de 160 m et d'une profondeur d'enfouissement de 70 cm. Le diamètre du forage est de 140 mm, la conductivité thermique du coulis est de 1,5 W/(mK) et celle du sol est de 2 W/(mK). Les tuyaux sont placés exactement à mi-chemin entre le centre du forage et la paroi de celui-ci, c'est-à-dire à une distance de 35 mm du centre du forage. Le fluide utilisé est du MPG à 25 v/v% et à 5 °C. Tous les tuyaux ont une classe de pression PN16 (SDR11) et une conductivité thermique de 0,4 W/(mK). Sauf indication contraire, le diamètre des tuyaux est de 32 mm. Tout écart par rapport aux hypothèses ci-dessus est explicitement mentionné ci-dessous.

Résistance thermique effective du trou de forage

Le tableau ci-dessous présente la résistance thermique effective des puits pour les tubes en U simples et doubles standard de DN32, ainsi que pour le modèle VARIO DN32.

Veuillez noter que, contrairement aux autres articles et à la discussion présentée dans Partie 5.1, la profondeur du forage a été fixée à 160 m, car ce n'est qu'à cette profondeur que le GEROtherm VARIO DN32 atteint la classe de pression PN16. Toute autre profondeur de forage aurait donné lieu à une comparaison inéquitable en termes de classe de pression.

Résistance thermique effective des forages pour les tubes en U simples et doubles DN32, ainsi que pour les GEROtherm VARIO simples et doubles DN32.

Dans le débat opposant les tubes en U simples aux tubes en U doubles, l'utilisation d'un VARIO ne change pas grand-chose. On constate que le VARIO présente une résistance thermique du forage légèrement inférieure, tant en régime laminaire qu'en régime turbulent, en raison de l'épaisseur de paroi en moyenne légèrement plus faible et, par conséquent, de la résistance thermique du tube plus faible.

En revanche, le passage à la turbulence ne se produit pas à un débit unique, car le diamètre intérieur du tuyau n’est plus constant. Le régime transitoire commence en même temps que pour les sondes classiques, mais comme la partie supérieure du VARIO présente un diamètre intérieur plus grand, un débit plus élevé est nécessaire pour que l’ensemble du tuyau passe en régime transitoire ou turbulent. C'est pourquoi la transition vers le régime transitoire est moins marquée pour la sonde conique.

La sonde VARIO DN32 PN16 est la sonde la moins profonde de la gamme. Pour illustrer un cas d'utilisation plus courant, une sonde GEROtherm FLUX DN43 PN32 et une sonde FLUX DN53 PN38 sont simulées ci-dessous pour un forage de 350 m de profondeur et d'un diamètre de 170 mm. Elles sont comparées à un tube en U simple et à un tube en U double DN40 PN32.

Résistance thermique effective des forages pour les tubes en U simples et doubles DN40 PN32, ainsi que pour un tube FLUX simple DN43 PN32 et un tube FLUX DN53 PN38.

Sur le graphique ci-dessus, la variation de la résistance thermique effective du forage est beaucoup plus marquée que dans les deux cas précédents, en raison de la plus grande profondeur du forage. La transition vers le régime turbulent est désormais très nette pour tous les tuyaux, y compris les tuyaux coniques, où les deux points de transition distincts (l'un pour le plus petit diamètre intérieur et l'autre pour le plus grand) sont clairement visibles.

Dans ce cas également, où le forage est plus profond, le tube en U simple (FLUX DN43 et FLUX DN53) peut offrir de meilleures performances que le tube en U double sur une plage de débits spécifique. En régime turbulent, vers la partie supérieure du graphique (où fonctionnent la plupart des sondes profondes), le modèle FLUX DN53 à tube unique présente une résistance thermique du forage très similaire à celle du tube en U double, bien que légèrement inférieure en raison de l’épaisseur moyenne de paroi plus faible (PN38 au lieu de PN32).

Ainsi, d'un point de vue thermique, les sondes coniques présentent des performances très similaires à celles des sondes classiques, mais avec une résistance thermique du forage légèrement inférieure (lorsque l'on compare des diamètres et des classes de pression identiques) en raison de leur épaisseur de paroi en moyenne plus faible. Le principal avantage de ces systèmes réside toutefois dans leurs performances hydrauliques.

On a indiqué précédemment que le transfert de chaleur par convection en régime laminaire est constant, étant donné que le nombre de Nusselt est constant (3,66). On peut donc se demander pourquoi la résistance thermique effective du forage varie autant dans ce régime laminaire.

La raison tient à la manière dont est calculée la résistance thermique effective du forage. Dans Partie 2.2, il a été expliqué que les résistances thermiques à l'intérieur du forage sont bien plus complexes que les simples résistances du fluide, du tubage et du coulis. Mathématiquement, on prend en compte deux sous-résistances : la résistance locale du forage ($R_b$), qui exprime la résistance au transfert de chaleur de tous les tuyaux vers la paroi du forage, et la résistance interne ($R_a$), qui permet de quantifier le transfert thermique entre les différents tuyaux.

Pour une configuration de conduite donnée, ces deux résistances sont constantes sur toute la longueur de la conduite, puisqu’elles sont déterminées uniquement par la section transversale bidimensionnelle. Cependant, la résistance thermique effective du forage est fonction de la longueur du tuyau et est liée aux deux autres résistances comme suit :$$r_v=\frac{H}{\dot{m}_{pipe}C_p}$$ $$\alpha = \frac{r_v}{n\cdot R_b \cdot R_a}$$ $$R_b^*=R_b\cdot \alpha\cdot \coth(\alpha)$$où $H$ est la longueur du forage en (m), $\dot{m}_{pipe}$ est le débit massique par tuyau en (kg/s), $C_p$ est la capacité thermique du fluide en (J/(kg·K)), et $n$ est le nombre de tuyaux.

D'après les équations ci-dessus, en supposant une température moyenne uniforme des parois du forage, la relation entre la résistance thermique effective du forage et le débit massique apparaît clairement. Même si $R_a$ et $R_b$ restent toutes deux constantes en régime laminaire, l'augmentation du débit entraîne une diminution de $r_v$ et, par conséquent, une diminution de la résistance thermique effective du forage.

Perte de charge

La figure ci-dessous présente la comparaison hydraulique entre les tubes en U simples et doubles DN32 classiques, ainsi que la sonde GEROtherm VARIO DN32.

Résistance thermique effective des forages pour les tubes en U simples et doubles DN32, ainsi que pour les GEROtherm VARIO simples et doubles DN32.

Il apparaît clairement que, quel que soit le débit, la sonde VARIO surpasse les sondes classiques grâce à une perte de charge plus faible. Cet effet s'accentue à mesure que le débit augmente. Le graphique ci-dessous illustre ce même comportement, mais cette fois-ci pour un forage de 350 m de profondeur équipé de sondes GEROtherm FLUX.

Perte de charge pour un tube en U simple et double DN40 PN32, ainsi que pour un FLUX simple DN43 PN32 et un FLUX DN53 PN38.

Lorsque l'on compare le modèle théorique simple DN43 au modèle simple GEROtherm FLUX DN43, on constate une différence très significative au niveau de la perte de charge. En raison de la plus grande profondeur du forage, les pertes par frottement deviennent de plus en plus importantes, ce qui accentue l'avantage d'un diamètre intérieur plus grand. La sonde GEROtherm FLUX DN53 surpasse même le tube en U double DN43 en termes de perte de charge, devenant ainsi la sonde présentant les pertes de charge les plus faibles de la comparaison. Si l’on tient compte de la résistance thermique effective du forage, cette solution représente un compromis intéressant entre performances thermiques et hydrauliques en régime turbulent.

Pour illustrer davantage l'effet de la section conique sur la perte de charge, examinons la perte de charge de la sonde GEROtherm FLUX DN43 PN38 pour un débit constant et une profondeur de forage variable. À titre de comparaison, un modèle théorique DN53 PN14 et un modèle théorique DN53 PN38 sont présentés à côté, car la sonde FLUX commence par une classe de pression PN14 à sa partie supérieure et devient conique entre 140 m et 380 m de profondeur, où elle atteint la classe de pression PN38.

Pour le graphique ci-dessous, un débit constant de 0,9 l/s a été utilisé afin de garantir un régime d'écoulement turbulent.

Perte de charge du GEROtherm FLUX DN53 PN38 par rapport à un modèle standard DN53 PN14 et à un modèle DN53 PN38.

Sur le graphique ci-dessus, on constate clairement que la sonde FLUX prend une forme conique à une profondeur de 140 m, bien que l'écart ne devienne visible qu'à environ 180 m. Cela s'explique par le fait que la perte de charge est calculée sur toute la longueur du forage, et que la contribution des premiers mètres, dont le diamètre est légèrement plus petit, est relativement faible. Au-delà de 380 m, la sonde a atteint son épaisseur de paroi finale PN38, et la perte de charge augmente alors parallèlement à celle de la sonde standard DN53 PN38, bien qu'à un niveau nettement inférieur.

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté les sondes coniques GEROtherm VARIO et FLUX de la société HakaGerodur. Il a été démontré que l'utilisation d'une moyenne simple pour modéliser la section conique n'était pas suffisamment précise, et que le théorème de la valeur moyenne offrait une approche plus fiable.

Les résultats ont montré que, notamment à de plus grandes profondeurs, la perte de charge est considérablement réduite grâce à la conception conique et au diamètre intérieur globalement plus grand. Les performances thermiques étaient similaires à celles des sondes classiques à de faibles débits, mais à des débits plus élevés, une nette amélioration des performances thermiques a été observée par rapport à une sonde classique de la même classe de pression.

Références

- Peere, W., Steinbock, G., Niklaus, E. (2025). Développement d'un modèle thermohydraulique d'une sonde géothermique conique et exemple pratique en Saxe. Dans Actes du colloque sur la géothermie. Salzbourg (Autriche), du 5 au 7 novembre 2025.
- Hellström, G. (1991). Stockage de chaleur dans le sol – Analyses thermiques des systèmes de stockage par conduits – Théorie. Thèse de doctorat, Université de Lund, Suède

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