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Teil 6
Kapitel 3
Juni 2026
Wouter Peere

GEROtherm VARIO und FLUX

In diesem Kapitel wird die Modellierung der GEROtherm-VARIO- und FLUX-Sonden von HakaGerodur erläutert, zusammen mit der Anwendung des Mittelwertsatzes zur Berücksichtigung ihrer konischen Geometrie.

GEROtherm VARIO und FLUX

Die GEROtherm® FLUX- und VARIO-Sonden sind zwei innovative Wärmetauscher, die von HakaGerodur entwickelt wurden. Sie sind so konzipiert, dass sie die gleiche Druckfestigkeit wie eine herkömmliche glatte Erdwärmesonde aufweisen, jedoch einen geringeren Druckabfall verursachen. Um dies zu erreichen, wird die Wandstärke der Sonde zum Bohrlochboden hin erhöht, wodurch die erforderliche Festigkeit dort gewährleistet wird, wo der statische Druck am höchsten ist. Durch diese Konstruktion verfügen die VARIO- und FLUX-Sonden über einen insgesamt größeren Innendurchmesser, was sich positiv auf die Verringerung des Druckabfalls auswirkt. Nachstehend ist ein vertikaler Querschnitt einer FLUX-Sonde dargestellt.

Aus modelltechnischer Sicht werden sowohl GEROtherm VARIO als auch GEROtherm FLUX als konische Rohre behandelt. FLUX-Sonden sind jedoch für sehr tiefe Bohrlöcher (bis zu 500 m) ausgelegt, während VARIO-Sonden für flachere Systeme (bis zu 250 m) vorgesehen sind.

Vertikaler Querschnitt der GEROtherm® FLUX 43DN PN32-Sonde.

Weitere Informationen zu den GEROtherm VARIO- und FLUX-Fühlern finden Sie jeweils unter, hier und hier.

Modell Entwicklung

In diesem Abschnitt wird die Modellentwicklung für die konischen GEROtherm VARIO- und FLUX-Sonden erläutert.

Ein Rohr mit drei Abschnitten

Bei genauerer Betrachtung der VARIO- und FLUX-Sonden lässt sich erkennen, dass sie aus drei Abschnitten bestehen. Der erste Abschnitt der Sonde ist ein normales, glattes Rohr mit konstanter Wandstärke, für das die Lösung bereits bekannt ist. Der letzte Abschnitt der Sonde ist ebenfalls ein normales Rohr mit konstanter, jedoch anderer Wandstärke. Für den dazwischenliegenden Abschnitt, in dem die Wandstärke allmählich zunimmt, muss ein neues Modell entwickelt werden.

Einige GEROtherm-VARIO-Sonden enden unmittelbar nach dem konischen Abschnitt und weisen daher keinen Endabschnitt mit konstanter Wanddicke auf. Dies hat keine Auswirkungen auf die Modellentwicklung, da bei diesen Sonden der Endabschnitt einfach eine fiktive Länge von Null hat.

Die drei verschiedenen Modelle für die konische Sondenkonstruktion.

Ein erster Ansatz könnte darin bestehen, einfach den Durchschnittswert der relevanten Parameter (wie beispielsweise der Reynolds-Zahl, des Reibungsfaktors und des thermischen Widerstands des Bohrlochs) zwischen dem Anfang und dem Ende des konischen Abschnitts zu nehmen. Da sich diese Parameter jedoch nicht linear mit der Bohrlochtiefe (und der entsprechenden Wandstärke) ändern, liefert dies keine gute Schätzung. Ein genauerer Ansatz besteht darin, die Mittelwertsatzes, worauf im nächsten Abschnitt eingegangen wird.

Mittelwertsatz

Normalerweise nimmt man bei der Berechnung eines Durchschnittswerts zwei Werte und teilt deren Summe durch zwei. Dabei wird implizit eine lineare Beziehung zwischen diesen beiden Werten angenommen. Ist die Beziehung jedoch alles andere als linear, ist dies kein besonders genauer Ansatz. Betrachten wir als Beispiel die rote Linie in der folgenden Grafik.

Grafische Veranschaulichung des Mittelwertsatzes. — Grafische Darstellung des Mittelwertsatzes. (Quelle: https://www.statisticshowto.com/calculus-problem-solving/intermediate-value-theorem/mean-value-theorem)

Um den Durchschnittswert der roten Linie zwischen $a$ und $b$ zu berechnen, kann die folgende Formel verwendet werden: $$f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx$$wobei $a$ und $b$ die Punkte sind, zwischen denen der Mittelwert ermittelt werden soll (in unserem Fall der Anfang und das Ende des Kegelschnitts), $f(x)$ die Funktion ist, für die der Mittelwert berechnet werden soll, und $f(c)$ der tatsächliche Mittelwert ist. Die Idee besteht darin, ein Rechteck mit der Grundseite $b-a$ und der Höhe $f(c)$ zu finden, sodass die Fläche $(b-a)f(c)$ der Fläche unter dem ursprünglichen Graphen entspricht.

Auf den ersten Blick mag dies übermäßig kompliziert erscheinen. Betrachtet man jedoch die Grafik der Reynolds-Zahl im konischen Abschnitt der Sonden, so lässt sich ein deutlicher Unterschied erkennen. Da wir mit langen Sonden arbeiten (bis zu 500 m beim GEROtherm FLUX), kann dieser Unterschied insbesondere im transienten Bereich erhebliche Auswirkungen haben. Daher wird bei der Berechnung der Reynolds-Zahl, des Reibungsfaktors, des Druckabfalls und des effektiven thermischen Bohrlochwiderstands der Mittelwertsatz angewendet.

Unterschied zwischen der Verwendung des Durchschnittswerts und des Mittelwertsatzes für die Reynolds-Zahl im konischen Abschnitt.

Mithilfe des Mittelwertsatzes lassen sich zudem analytische Lösungen für bestimmte Eigenschaften, wie beispielsweise die Reynolds-Zahl, ableiten. Wenn der konische Abschnitt mit einem Innendurchmesser von $D_{in,0}$ beginnt und die Wanddicke mit einer Rate von $a$ in (m/m) zunimmt, lässt sich der Innendurchmesser an der Position $x$ (gemessen von der Oberkante des konischen Abschnitts) wie folgt berechnet werden:$$D_{in}(x)=D_{in,0}-2ax$$Die Reynolds-Zahl ist definiert als:$$Re = \frac{\rho DV}{\mu}$$wobei $\rho$ die Dichte des Fluids in (kg/m³), $D$ der Innendurchmesser des Rohrs in (m), $V$ die Strömungsgeschwindigkeit in (m/s) und $\mu$ die dynamische Viskosität des Fluids in (Pa·s). Da wir wissen, dass die Strömungsgeschwindigkeit $V$ von der Durchflussmenge $\dot{V}$ in (m³/s) und der Querschnittsfläche $A$ abhängt, lässt sich die Reynolds-Zahl wie folgt umschreiben:$$Re=\frac{\rho D\dot{V}}{\mu A}=\frac{4\rho D\dot{V}}{\mu\pi D^2}=\frac{4\rho\dot{V}}{\mu\pi D}$$Unter Verwendung des positionsabhängigen Innendurchmessers lässt sich die Reynolds-Zahl als Funktion der Position $x$ im konischen Abschnitt schreiben:$$Re(x)=\frac{4\rho\dot{V}}{\mu\pi D(x)}=\frac{4\rho\dot{V}}{\mu\pi(D_{in,0}-2ax)}$$Unter Anwendung des Mittelwertsatzes lässt sich die mittlere Reynolds-Zahl $\overline{Re}$ wie folgt berechnen:$$\overline{Re}(x)=\frac{1}{x-0}\int_0^xRe(x)dx=\frac{1}{x}\int_0^x\frac{4\rho\dot{V}}{\mu\pi(D_{in,0}-2ax)}dx$$Daraus ergibt sich:$$\overline{Re}(x)=\frac{-2}{x}\frac{\rho\dot{V}}{\mu\pi}\left[\ln(D_{in,0}-2ax)-\ln(D_{in,0}) \right]$$

Verhalten des GEROtherm VARIO und FLUX

Anhand des oben dargestellten Modells werden im Folgenden der effektive thermische Widerstand des Bohrlochs sowie der Druckabfall der GEROtherm VARIO- und FLUX-Sonden erörtert.

Alle nachstehenden Simulationen werden anhand eines Bohrlochs mit einer Tiefe von 160 m und einer Einbautiefe von 70 cm durchgeführt. Der Bohrlochdurchmesser beträgt 140 mm, die Wärmeleitfähigkeit des Injektionsmörtels 1,5 W/(mK) und die Wärmeleitfähigkeit des Bodens 2 W/(mK). Die Rohre sind genau in der Mitte zwischen der Bohrlochmitte und der Bohrlochwand angeordnet, d. h. in einem Abstand von 35 mm zur Bohrlochmitte. Als Fluid wird MPG mit 25 v/v% und einer Temperatur von 5 °C verwendet. Alle Rohre haben eine Druckstufe von PN16 (SDR11) und eine Wärmeleitfähigkeit von 0,4 W/(mK). Sofern nicht anders angegeben, beträgt der Rohrdurchmesser 32 mm. Abweichungen von den oben genannten Annahmen werden im Folgenden ausdrücklich erwähnt.

Effektiver thermischer Widerstand des Bohrlochs

Nachstehend ist der effektive thermische Widerstand der Bohrlöcher für die herkömmlichen einfachen und doppelten U-Rohre mit DN32 sowie für das VARIO DN32 dargestellt.

Bitte beachten Sie, dass im Gegensatz zu den anderen Artikeln und der Diskussion in Teil 5.1, wurde die Bohrlochtiefe auf 160 m festgelegt, da das GEROtherm VARIO DN32 erst in dieser Tiefe die Druckstufe PN16 erreicht. Jede andere Bohrlochtiefe hätte zu einem unfairen Vergleich hinsichtlich der Druckstufe geführt.

Effektiver thermischer Widerstand von Bohrlöchern bei Einzel- und Doppel-U-Rohren DN32 sowie bei Einzel- und Doppel-GEROtherm VARIO DN32.

Was die Diskussion um Einzel- und Doppel-U-Rohre angeht, ändert sich durch den Einsatz eines VARIO nicht viel. Es zeigt sich, dass das VARIO sowohl im laminaren als auch im turbulenten Strömungsbereich einen etwas geringeren thermischen Widerstand im Bohrloch aufweist, was auf die im Durchschnitt etwas geringere Wandstärke und damit den geringeren thermischen Widerstand des Rohrs zurückzuführen ist.

Im Gegensatz dazu findet der Übergang zur Turbulenz nicht bei einer bestimmten Durchflussrate statt, da der Innendurchmesser des Rohrs nicht mehr konstant ist. Der Übergang zum transienten Strömungsverhalten beginnt zwar zur gleichen Zeit wie bei den herkömmlichen Sonden, doch da der obere Teil der VARIO-Sonde einen größeren Innendurchmesser aufweist, ist eine höhere Durchflussrate erforderlich, damit das gesamte Rohr in den transienten oder turbulenten Strömungszustand übergeht. Aus diesem Grund ist der Übergang in den instationären Bereich bei der konischen Sonde weniger ausgeprägt.

Die VARIO DN32 PN16 ist die flachste Sonde im Sortiment. Um einen häufigeren Anwendungsfall zu veranschaulichen, werden im Folgenden ein GEROtherm FLUX DN43 PN32 und ein FLUX DN53 PN38 für eine Bohrlochtiefe von 350 m und einen Bohrlochdurchmesser von 170 mm simuliert. Diese werden mit einem einfachen und einem doppelten U-Rohr vom Typ DN40 PN32 verglichen.

Effektiver thermischer Widerstand von Bohrlöchern für Einzel- und Doppel-U-Rohre DN40 PN32 sowie für ein einzelnes FLUX-Rohr DN43 PN32 und ein FLUX-Rohr DN53 PN38.

In der obigen Grafik ist die Bandbreite des effektiven thermischen Widerstands des Bohrlochs aufgrund der größeren Bohrlochtiefe deutlich ausgeprägter als in den beiden vorherigen Fällen. Der Übergang in den turbulenten Bereich ist nun bei allen Rohren, einschließlich der konischen, sehr deutlich zu erkennen, wobei die beiden unterschiedlichen Übergangspunkte (einer für den kleinsten Innendurchmesser und einer für den größten) klar sichtbar sind.

Auch bei einem tieferen Bohrloch kann das Einzel-U-Rohr (FLUX DN43 und FLUX DN53) in einem bestimmten Durchflussbereich eine bessere Leistung erzielen als das Doppel-U-Rohr. Im turbulenten Bereich, am oberen Ende des Diagramms (wo die meisten Tiefensonden betrieben werden), weist das einfache FLUX DN53 einen sehr ähnlichen Bohrloch-Wärmewiderstand wie das Doppel-U-Rohr auf, wenn auch aufgrund der geringeren durchschnittlichen Wandstärke (PN38 statt PN32) etwas niedriger.

Aus thermischer Sicht weisen die konischen Sonden also ein sehr ähnliches Verhalten wie die herkömmlichen Sonden auf, weisen jedoch aufgrund ihrer im Durchschnitt geringeren Wandstärke einen etwas geringeren thermischen Widerstand im Bohrloch auf (beim Vergleich gleicher Durchmesser und Druckklassen). Der größte Vorteil dieser Systeme liegt jedoch in ihrer hydraulischen Leistung.

Zuvor wurde festgestellt, dass der konvektive Wärmeübergang im laminaren Bereich bei einer konstanten Nusselt-Zahl von 3,66 konstant ist. Man könnte sich daher fragen, warum es innerhalb dieses laminaren Bereichs so große Schwankungen beim effektiven thermischen Widerstand des Bohrlochs gibt.

Der Grund liegt in der Art und Weise, wie der effektive thermische Widerstand des Bohrlochs berechnet wird. In Teil 2.2, wurde erläutert, dass die thermischen Widerstände im Bohrloch weitaus komplexer sind als lediglich die Widerstände des Fluids, des Rohrs und des Mörtels. Mathematisch werden zwei Teilwiderstände berücksichtigt: der Lokaler Bohrlochwiderstand ($R_b$), der den Widerstand gegen die Wärmeübertragung von allen Rohren zur Bohrlochwand angibt, sowie den Innenwiderstand ($R_a$), das den Wärmeaustausch zwischen den verschiedenen Rohren quantifiziert.

Bei einer gegebenen Rohrkonfiguration sind diese beiden Widerstände über die gesamte Rohrlänge hinweg konstant, da sie ausschließlich durch den zweidimensionalen Querschnitt bestimmt werden. Der effektive thermische Widerstand des Bohrlochs ist jedoch eine Funktion der Rohrlänge und steht mit den beiden anderen Widerständen wie folgt in Beziehung:$$r_v=\frac{H}{\dot{m}_{pipe}C_p}$$ $$\alpha = \frac{r_v}{n\cdot R_b \cdot R_a}$$ $$R_b^*=R_b\cdot \alpha\cdot \coth(\alpha)$$wobei $H$ die Bohrlochlänge in (m) ist, $\dot{m}_{Rohr}$ der Massenstrom pro Rohr in (kg/s) ist, $C_p$ die Wärmekapazität des Fluids in (J/(kg·K)) und $n$ die Anzahl der Rohre ist.

Aus den obigen Gleichungen wird – unter der Annahme einer gleichmäßigen durchschnittlichen Bohrlochwandtemperatur – der Zusammenhang zwischen dem effektiven thermischen Widerstand des Bohrlochs und dem Massenstrom deutlich. Auch wenn sowohl $R_a$ als auch $R_b$ im laminaren Bereich konstant bleiben, führt eine Erhöhung der Durchflussrate zu einer Verringerung von $r_v$ und damit auch zu einer Verringerung des effektiven thermischen Widerstands des Bohrlochs.

Druckverlust

In der folgenden Abbildung ist das hydraulische Äquivalent zum Vergleich zwischen den herkömmlichen einfachen und doppelten U-Rohren mit DN32 zusammen mit der GEROtherm VARIO DN32-Sonde dargestellt.

Effektiver thermischer Widerstand von Bohrlöchern bei Einzel- und Doppel-U-Rohren DN32 sowie bei Einzel- und Doppel-GEROtherm VARIO DN32.

Es ist offensichtlich, dass die VARIO-Sonde bei allen Durchflussraten die herkömmlichen Sonden aufgrund ihres geringeren Druckverlusts übertrifft. Dieser Effekt wird bei höheren Durchflussraten noch deutlicher. Die folgende Grafik zeigt dasselbe Verhalten, nun jedoch für ein 350 m tiefes Bohrloch mit den GEROtherm FLUX-Sonden.

Druckverlust bei einem einfachen und einem doppelten U-Rohr DN40 PN32 sowie bei einem einfachen FLUX DN43 PN32 und einem FLUX DN53 PN38.

Vergleicht man das theoretische Einzelrohr DN43 mit dem Einzelrohr GEROtherm FLUX DN43, lässt sich ein sehr deutlicher Unterschied beim Druckverlust feststellen. Aufgrund der größeren Bohrlochtiefe gewinnen Reibungsverluste zunehmend an Bedeutung, wodurch sich der Vorteil eines größeren Innendurchmessers verstärkt. Das GEROtherm FLUX DN53 übertrifft hinsichtlich des Druckabfalls sogar das doppelte U-Rohr DN43 und ist damit die Sonde mit den geringsten Druckverlusten im Vergleich. Unter Berücksichtigung des effektiven thermischen Widerstands des Bohrlochs stellt diese Lösung einen interessanten Kompromiss zwischen thermischer und hydraulischer Leistung im turbulenten Bereich dar.

Um den Einfluss des konischen Abschnitts auf den Druckabfall näher zu veranschaulichen, betrachten wir den Druckabfall des GEROtherm FLUX DN43 PN38 bei konstantem Durchfluss und unterschiedlicher Bohrlochtiefe. Zum Vergleich werden daneben sowohl ein theoretisches DN53 PN14 als auch ein theoretisches DN53 PN38 dargestellt, da die FLUX-Sonde oben als PN14 beginnt und ab einer Tiefe von 140 m bis 380 m konisch verläuft, wo sie die Druckstufe PN38 erreicht.

Für die nachstehende Grafik wurde eine konstante Durchflussrate von 0,9 l/s verwendet, um einen turbulenten Strömungszustand zu gewährleisten.

Druckverlust des GEROtherm FLUX DN53 PN38 im Vergleich zu einem herkömmlichen DN53 PN14 und einem DN53 PN38.

Aus der obigen Grafik geht deutlich hervor, dass die FLUX-Sonde in einer Tiefe von 140 m konisch verläuft, obwohl die Abweichung erst bei etwa 180 m sichtbar wird. Dies liegt daran, dass der Druckabfall über die gesamte Bohrlochlänge berechnet wird und der Beitrag der ersten paar Meter mit einem etwas kleineren Durchmesser relativ gering ist. Nach 380 m hat die Sonde ihre endgültige Wandstärke PN38 erreicht, und der Druckabfall steigt dann parallel zu dem der regulären DN53-PN38-Sonde an, wenn auch auf einem deutlich niedrigeren Niveau.

Fazit

In diesem Kapitel wurden die konischen GEROtherm VARIO- und FLUX-Sonden von HakaGerodur vorgestellt. Es wurde gezeigt, dass die Verwendung eines einfachen Mittelwerts zur Modellierung des konischen Abschnitts nicht ausreichend genau ist und dass der Mittelwertsatz einen zuverlässigeren Ansatz bietet.

Die Ergebnisse zeigten, dass insbesondere in größeren Tiefen der Druckabfall dank der konischen Bauweise und des insgesamt größeren Innendurchmessers deutlich reduziert wird. Die thermische Leistung entsprach bei niedrigeren Durchflussraten der von herkömmlichen Sonden, bei höheren Durchflussraten wurde jedoch im Vergleich zu einer herkömmlichen Sonde derselben Druckklasse eine deutliche Verbesserung der thermischen Leistung beobachtet.

Literaturverzeichnis

- Peere, W., Steinbock, G., Niklaus, E. (2025). Entwicklung eines thermohydraulischen Modells einer konischen Erdwärmesonde und ein Praxisbeispiel aus Sachsen. In Tagungsband des Geothermie-Symposiums. Salzburg (Österreich), 5. bis 7. November 2025.
- Hellström, G. (1991). Erdwärmespeicherung – Thermische Analysen von Kanalspeichersystemen – Theorie. Doktorarbeit, Universität Lund, Schweden

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