Modellierung der FLUX und VARIO Erdwärmesonden

Die GEROtherm® FLUX und VARIO Erdwärmesonden stehen ab sofort in der GHEtool Cloud zur Verfügung. In diesem Artikel wird das mathematische Modell diesen konischen Erdwärmesonden vorgestellt und erläutert, wie es deren hydraulisches und thermisches Verhalten beeinflusst.

GEROtherm® FLUX und VARIO Erdwärmesonden

Bei den GEROtherm® FLUX und VARIO Sonden handelt es sich um zwei innovative Wärmetauscher, die von HakaGerodur entwickelt wurden. Sie sind so konzipiert, dass sie die gleiche Druckstufe wie eine herkömmliche glatte Erdwärmesonde besitzen, jedoch einen geringeren Druckverlust aufweisen. Um dies zu erreichen, wurde die Wandstärke der Sonden zum Ende des Bohrlochs hin erhöht, um die erforderliche Stabilität dort zu gewährleisten, wo der statische Druck am höchsten ist. Diese spezielle Konstruktion führt zu einem insgesamt grösseren Innendurchmesser der VARIO und FLUX Sonden, was wiederum den Druckverlust reduziert. Nachfolgend ist ein vertikaler Querschnitt einer FLUX Sonde dargestellt.

!Hinweis
Aus Sicht der mathematischen Modellierung werden sowohl GEROtherm® VARIO als auch GEROtherm® FLUX Erdwärmesonden als konische Rohre betrachtet. FLUX Sonden sind für sehr tiefe Bohrungen (bis zu 500 m) ausgelegt, während VARIO Sonden für oberflächennahe Systeme (bis zu 250 m) vorgesehen sind. Weitere Informationen finden Sie auf der Website von HakaGerodur hier.

Ein Rohr mit drei Abschnitten

Bei genauerer Betrachtung des Sondenrohrs zeigt sich, dass es aus drei Abschnitten besteht. Der erste Teil der Sonde besteht aus einem normalen glatten Rohr mit konstanter Wandstärke, für das die Lösung bereits bekannt ist. Der letzte Teil der Sonde besteht ebenfalls aus einem normalen Rohr mit konstanter, jedoch unterschiedlicher Wandstärke. Für den Mittelteil, in dem die Wandstärke zunimmt, musste hingegen ein neues mathematisches Modell entwickelt werden.

!Hinweis
Manche GEROtherm® VARIO Sonden enden direkt nach dem konischen Abschnitt und weisen somit keinen zylindrischen Endabschnitt auf. Dies hat keinen Einfluss auf die Weiterentwicklung des mathematischen Modells.

Eine erste Idee könnte sein, einfach den Durchschnittswert der relevanten Parameter (z. B. der Reynolds-Zahl und des Reibungsfaktors) zwischen Beginn und Ende des konischen Abschnitts zu verwenden. Allerdings ermöglicht diese Methode keine gute Schätzung, da die Parameter nicht linear sind. Ein genauerer Ansatz besteht in der Anwendung des sogenannten Mittelwertsatzes, der im nächsten Abschnitt kurz erläutert wird.

Mittelwertsatz

Der Mittelwertsatz lässt sich mit folgender Formel beschreiben: $$f(c)=\frac{1}{b-a} \int_a^b{f(x)dx}$$

Dabei sind $a$ und $b$ die Intervallgrenzen, zwischen denen der Mittelwert der Funktion $f(c)$ berechnet werden soll (die Funktion könnte beispielsweise den Druckverlust, den effektiven thermischen Bohrlochwiderstand usw. beschreiben). Das Integral stellt die Fläche unter der Kurve zwischen den Punkten a und b dar (in der oben stehenden Abbildung durch die roten Quadrate dargestellt). Die Idee besteht darin, ein grünes Rechteck mit der gleichen Basisbreite $b−a$ und der gleichen Fläche zu finden. Die Höhe dieses Rechtecks, $f(c)$, stellt den gesuchten Durchschnittswert dar.

!Hinweis
Die obige Gleichung ermöglicht auch analytische Lösungen. Eine vollständige mathematische Herleitung würde den Rahmen dieses Artikels sprengen; die Gleichung für die Reynolds-Zahl im konischen Abschnitt kann jedoch wie folgt geschrieben werden: $$\overline{Re}(x)=\frac{-1}{x}\frac{4\rho \dot{V}}{\pi \mu}\frac{1}{2a}\left[ln(D_{in,start}-2ax)-ln(D_{in,start})\right]$$ Dabei ist $x$ die Position im konischen Abschnitt der Sonde [m], und $a$ steht für die Zunahme der Wandstärke. $\dot{V}$ ist der Volumenstrom [m³/s] und $D_{in,start}$ die Anfangswandstärke des konischen Abschnitts [m]. Die übrigen Parameter $\rho$ und $\mu$ bezeichnen jeweils die Dichte des Fluids [kg/m³] und die dynamische Viskosität [Pa s]. Weitere Informationen zur Reynolds-Zahl finden Sie in dieser Artikel.

Verhalten der konischen Sonden

Druckverlust einer GEROtherm® FLUX Doppel-U Sonde (DN53 PN38) in Abhängigkeit von der Tiefe bei einem 25%igen MEG-Gemisch, 3 °C und 0,9 l/s.

Anfangs entspricht der Druckverlust der FLUX Sonde dem Verlauf der zylindrischen PN14-Sonde. Ab einer Tiefe von 140 m – dem Beginn des konischen Abschnitts – tritt jedoch eine Abweichung auf. Ab diesem Punkt steigt der Druckverlust an, bis er mehr oder weniger parallel zu dem der zylindrischen PN38-Sonde verläuft. Es ist klar, dass der Unterschied in der Wandstärke bei einem 500 m tiefen System einen signifikanten Einfluss auf den Gesamtdruckverlust und damit auf den Energieverbrauch der Pumpe hat.

Im unten stehenden Diagramm ist die Tiefe auf 500 m festgelegt, während der Volumenstrom variiert. Anfänglich sind die Druckverluste aufgrund der laminaren Strömung sehr ähnlich. Bei etwa 0,4 l/s geht die Strömung in der zylindrischen PN38-Sonde in den turbulenten Bereich über, was sich in einem plötzlichen Anstieg des Druckverlusts zeigt.

Dieser Übergang erfolgt bei der PN14-Sonde erst bei einem höheren Volumenstrom. Dies liegt daran, dass der grössere Innendurchmesser dieser Sonde zu einer geringeren Strömungsgeschwindigkeit führt, wodurch die Turbulenzen später auftreten. Bei der FLUX Sonde beginnt der Übergang ebenfalls bei etwa 0,4 l/s, ist jedoch weniger ausgeprägt. Dies liegt daran, dass nur ein Teil der Sonde die gleiche Wandstärke (PN38) aufweist, was zu einem insgesamt geringeren Druckverlust bei allen Volumenströmen führt.

Für eine Sonde dieser Länge sieht das Diagramm etwas anders aus als das in unserem vorherigen Artikel, bei dem der Druckverlust beim Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung stärker ausgeprägt war. Da die Sonde in diesem Fall relativ lang ist, fällt dieser Effekt geringer aus, bleibt aber dennoch bestehen. Wie man sieht, ist die thermische Leistung der konischen FLUX Sonde bei einem Volumenstrom von bis zu 0,5 l/s mit der thermischen Leistung der anderen Sonden vergleichbar. Bei höheren Werten kommt es jedoch zu Abweichungen. Interessanterweise weist die konische Sonde aufgrund der insgesamt dünneren Wandstärke eine bessere thermische Leistung auf als die herkömmliche PN38-Sonde.

!Hinweis
Aufgrund der konischen Form der Sonde ist der Wärmeübergangskoeffizient nicht konstant, da Turbulenz und Rohrwiderstand je nach Sondentiefe variieren. Da die g-Funktionen jedoch unter der Randbedingung einer konstanten Bohrlochwandtemperatur berechnet werden, hat diese Abweichung keinen Einfluss auf die Modellgenauigkeit. Weitere Informationen zur Berechnung der g-Funktionen finden Sie hier.

GEROtherm® FLUX und VARIO Erdwärmesonden in der GHEtool Cloud

Alle GEROtherm® FLUX und VARIO Erdwärmesonden von HakaGerodur sind nun in der GHEtool Cloud in der Auswahlliste der Wärmetauscher verfügbar.

Fazit

Dieser Artikel beschreibt das von HakaGerodur entwickelte mathematische Modell für die GEROtherm® FLUX und VARIO Erdwärmesonden. Es wurde dargelegt, dass die Verwendung eines einfachen Durchschnittswerts zur mathematischen Modellierung des konischen Abschnitts nicht ausreichend genau ist und der Mittelwertsatz einen zuverlässigeren Ansatz bietet.

Die Ergebnisse zeigen, dass der Druckverlust dank der konischen Form der Sonden und ihres insgesamt grösseren Innendurchmessers vor allem in grösseren Tiefen erheblich reduziert wird. Bei geringem Volumenstrom war die thermische Leistung der konischen Sonde mit der von herkömmlichen Sonden vergleichbar, während bei hohem Volumenstrom eine deutliche Verbesserung gegenüber einer herkömmlichen Sonde derselben Druckstufe zu beobachten war.

Literaturverzeichnis

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